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Last Update: 02/24/2025 02:19 PM
Current Deck: Mathématiques::Classiques::Thomas Lefevre::à partager::Equations différentielles
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Equation différentielle de Bessel. Soit \((E) : \forall x \in \mathbb R, xy''(x) + y'(x) +xy(x) = 0\). Montrer qu'il existe une unique solution \(J\) sur \(\mathbb R\) telle que \(J(0) = 1\).
- Existence : {{c1::On trouve une solution développable en série entière qui
convient.}}convient. On a : \(\displaystyle J(x)=a_0\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2^{2n}(n!)^2}x^{2n}\), et on pose \(a_0=1\).}} - Unicité : {{c2::Si \(f\) vérifie les conditions, alors \(\left(J, f_{|\mathbb R_+^*}\right)\) est liée car sinon \(J(x)f'(x) - J'(x)f(x) = \frac {W(1)} x\) donc \(f'(x) \underset{x \to 0^+} \sim \frac {W(1)} x\) (car \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} J'(x) = 0\)) ce qui est impossible car \(f\) est deux fois dérivable en \(0\).}}
- {{c2::De même sur \(\mathbb R_-^*\), donc par continuité en \(0\), \(f = J\).}}